III. Définitions

6. Formule de Parseval

La formule de Parseval relie la valeur efficace, notée `X_"eff"`, d'une grandeur périodique avec sa valeur moyenne, notée `X_0`, et les valeurs efficaces, notées `X_"n"` pour le rang `n`, de ses harmoniques :

`X_"eff" = sqrt {X_0^2 + sum_{n=1}^infty X_n^2}`

Le graphe ci-contre représente la valeur instantanée `u(t)` d'une tension. La valeur moyenne de `u(t)` est nulle. Les harmoniques de rangs pairs n’existent pas.

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La valeur maximale de l'harmonique de rang `2 cdot k +1` est donnée par `U_{"max"(2 cdot k +1)} = {4 cdot U}/{(2 cdot k + 1) cdot pi}` avec `U = 100" V"` soit une valeur efficace `U_{2 cdot k +1} = {4 cdot U}/{(2 cdot k + 1) cdot pi} cdot 1 /sqrt(2) = {2 sqrt 2 cdot U}/{(2 cdot k + 1) cdot pi}`

`k` Rang
`2 cdot k + 1`
Expression de `U_{2 cdot k +1}` `U_{2 cdot k +1}` en volt
`k = 0``2 times 0 + 1 = 1``U_1` = {2 sqrt 2 cdot U}/{1cdot pi}``U_1 = 90,03`
`k = 1``2 times 1 + 1 = 3``U_3` = {2 sqrt 2 cdot U}/{3cdot pi}``U_3 = 30,01`
`k = 2``2 times 2 + 1 = 5``U_5` = {2 sqrt 2 cdot U}/{5cdot pi}``U_5 = 18,01`
`k = 3``2 times 3 + 1 = 7``U_7` = {2 sqrt 2 cdot U}/{7cdot pi}``U_7 = 12,86`