La formule de Parseval relie la valeur efficace, notée `X_"eff"`, d'une grandeur périodique avec sa valeur moyenne, notée `X_0`, et les valeurs efficaces, notées `X_"n"` pour le rang `n`, de ses harmoniques :
`X_"eff" = sqrt {X_0^2 + sum_{n=1}^infty X_n^2}`
Le graphe ci-contre représente la valeur instantanée `u(t)` d'une tension. La valeur moyenne de `u(t)` est nulle. Les harmoniques de rangs pairs n’existent pas.
La valeur maximale de l'harmonique de rang `2 cdot k +1` est donnée par `U_{"max"(2 cdot k +1)} = {4 cdot U}/{(2 cdot k + 1) cdot pi}` avec `U = 100" V"` soit une valeur efficace `U_{2 cdot k +1} = {4 cdot U}/{(2 cdot k + 1) cdot pi} cdot 1 /sqrt(2) = {2 sqrt 2 cdot U}/{(2 cdot k + 1) cdot pi}`
| `k` | Rang `2 cdot k + 1` |
Expression de `U_{2 cdot k +1}` | `U_{2 cdot k +1}` en volt |
| `k = 0` | `2 times 0 + 1 = 1` | `U_1` = {2 sqrt 2 cdot U}/{1cdot pi}` | `U_1 = 90,03` |
| `k = 1` | `2 times 1 + 1 = 3` | `U_3` = {2 sqrt 2 cdot U}/{3cdot pi}` | `U_3 = 30,01` |
| `k = 2` | `2 times 2 + 1 = 5` | `U_5` = {2 sqrt 2 cdot U}/{5cdot pi}` | `U_5 = 18,01` |
| `k = 3` | `2 times 3 + 1 = 7` | `U_7` = {2 sqrt 2 cdot U}/{7cdot pi}` | `U_7 = 12,86` |
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La valeur efficace de `u(t)` est calculée en élevant `u(t)` au carré puis en calculant la valeur moyenne de `u^2(t)` et en prenant la racine carrée du résultat soit : `U_"eff" = U` donc `U_"eff" = 100" V"`
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En tenant compte des quatre premiers harmoniques, l'application de la formule de Parseval donne :
`U_"eff" = sqrt {({2 sqrt 2 cdot U}/pi)^2 + ({2 sqrt 2 cdot U}/{3 cdot pi})^2 + ({2 sqrt 2 cdot U}/{5 cdot pi})^2 + ({2 sqrt 2 cdot U}/{7 cdot pi})^2 } `
Comme `U = 100" V"` :
`U_"eff" = sqrt {({2 sqrt 2 times 100}/pi)^2 + ({2 sqrt 2 times 100}/{3 cdot pi})^2 + ({2 sqrt 2 times 100}/{5 cdot pi}) ^2 + ({2 sqrt 2 times 100}/{7 cdot pi})^2 } `
`U_"eff" = sqrt {(90,03)^2 + (30,01)^2 + (18,01)^2 + (12,86)^2 } =97,45" V"`