Introduction
Le graphique ci-contre représente l'évolution de l'intensité instantanée d’un courant périodique circulant dans une résistance `R`. Le graphique placé dessous représente la puissance instantanée, notée `p(t)`, pour cette résistance.
Le rapport cyclique est noté `alpha` et la période est notée `T`
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Pendant la durée `alpha cdot T`, l'énergie transformée par la résistance est donnée par la relation :
`E_1 = R cdot I_1^2 cdot alpha cdot T`
Cette énergie correspond à la pseudo surface placée sous la courbe `p(t)` pendant la durée `alpha cdot T`.
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Pendant la durée `T - alpha cdot T `, l'énergie transformée par la résistance est donnée par la relation :
`E_2 = R cdot I_2^2 cdot (T - alpha cdot T)`
Cette énergie correspond à la pseudo surface placée sous la courbe `p(t)` pendant la durée `T - alpha cdot T`.
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Sur la période complète, l'énergie transformée est :
`E = E_1 + E_2`
En remplaçant `E_1` et `E_2` par leurs valeurs :
`E= R cdot I_1^2 cdot alpha cdot T + R cdot I_2^2 cdot (T - alpha cdot T)`
En factorisant par `T` et `R` : `E = R cdot [I_1^2 cdot alpha + I_2^2 cdot (1 - alpha)]cdot T`
En divisant `E` par `T` on obtient la puissance moyenne :
`P = R cdot [I_1^2 cdot alpha + I_2^2 cdot (1 - alpha)]`
Le terme `I_1^2 cdot alpha + I_2^2 cdot (1 - alpha)` est le carré d’un courant continu, noté `I_"eff"`, qui transformerait la même énergie que le courant `i(t)` pendant la durée `T`.
L’intensité efficace d’un courant périodique est égale à l'intensité qu’aurait un courant continu qui engendrerait les mêmes effets thermiques.
On a alors, `E = R cdot I_"eff"^2 cdot T` et `P = R cdot I_"eff"^2` ce qui donne en identifiant les expressions : `I_"eff"^2 = I_1^2 cdot alpha + I_2^2 cdot (1 - alpha)`
Et finalement `I_"eff"`` =sqrt{I_1^2 cdot alpha + I_2^2 cdot (1 - alpha)}`
L’expression `R cdot I_"eff"^2` correspond à la surface sous la courbe de `p(t)` ; pour un courant périodique d’intensité instantanée `i(t)` de forme quelconque, l’expression de l'intensité efficace d’un courant périodique s’écrit : `I_"eff" = sqrt {1/T int_0^T i^2(t) dt}`
Le terme `1/T int_0^T i^2(t) dt` représente la valeur moyenne de l'intensité instantanée élevée au carré.
Généralisation
La valeur efficace d’une grandeur périodique notée `x(t)` est définie par :
`X_"eff" = sqrt{ 1/T int_0^T x^2(t) dt}`
La valeur efficace ne dépend pas de la période de la grandeur, son unité est celle de la grandeur.
Les trois étapes suivantes sont nécessaires pour déterminer la valeur efficace :
- La grandeur est élevée au carré : square en anglais
- La valeur moyenne de la grandeur élevée au carré est calculée : mean en anglais
- La racine carrée du résultat précédent est calculée : root en anglais
D’où l'abréviation RMS parfois utilisée.
La valeur efficace d’une grandeur est toujours positive.
Il est interdit d’additionner les valeurs efficaces.
Une grandeur dont la valeur efficace est nulle a une valeur instantanée nulle.
Sa valeur est de `10,0 Omega` dans l'exemple choisi.
`alpha=0,67` sur l'exemple.
C’est la durée du plus petit motif.
L’intensité du courant est égale à `I_1`
C’est le produit de la puissance `P_1 = R cdot I_1^2`
par la durée `alpha cdot T`
`P_1 = 225" kW"` dans l'exemple choisi.
L’unité de cette pseudo surface est le watt seconde (`"W" cdot "s"`)
donc le joule
L’intensité du courant est égale à `I_2`
C’est le produit de la puissance `P_2 = R cdot I_2^2`
par la durée `T - alpha cdot T`
`P_2 = 56,3" kW"` dans l'exemple choisi.
L’unité de cette pseudo surface est le watt seconde (`"W" cdot "s"`)
donc le joule
Une énergie divisée par une durée
est une puissance
Pour l'exemple :
`P = 225 times 0,67 + 56,3 times 0,33 `
`P = 169" kW"`
Pour l'exemple :
`I_"eff" = sqrt{150^2 times 0,67 + (-75)^2 times 0,33 }`
`I_"eff" = 130" A"`
Pour l'exemple :
`R cdot I_"eff"^2 = 10 times 130^2`
`R cdot I_"eff"^2 = 169" kW"`
Pour Root Mean Square