III. Valeurs moyennes

1. Définition

Introduction

Le graphique ci-contre représente l'évolution de l'intensité instantanée `i(t)` d’un courant périodique.

Le rapport cyclique est noté `alpha` et la période est notée `T`.

Pendant la durée `alpha cdot T`, la charge transportée par ce courant est donnée par la relation :

`Q_1 = I_1 cdot alpha cdot T`

Pendant la durée `T - alpha cdot T `, la charge transportée par ce courant est donnée par la relation :

`Q_2 = I_2 cdot (T - alpha cdot T)`

Sur la période complète, la charge transportée est :

`Q = Q_1 + Q_2`

En remplaçant `Q_1` et `Q_2` par leurs valeurs :

`Q= I_1 cdot alpha cdot T + I_2 cdot (T - alpha cdot T)`

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En factorisant l'expression précédente par `T` : `Q= [(I_1 cdot alpha + I_2 cdot (1 - alpha)]cdot T`

En divisant `Q` par `T`, on obtient le courant constant `I_"moy"` qui transporterait la même charge que le courant d’intensité instantanée `i(t)` :

`I=Q/T` soit : `I_"moy"``=I_1 cdot alpha + I_2 cdot (1 - alpha)`

L’intensité moyenne d’un courant périodique est égale à l'intensité qu’aurait un courant continu qui transporterait la même charge que le courant périodique.

Pour un courant périodique d’intensité instantanée `i(t)` de forme quelconque l'intensité moyenne s’écrit :

`I_"moy" = 1/T int_0^T i(t) dt`

Le terme `int_0^T i(t) dt` représente la surface sous la courbe.

Généralisation

La valeur moyenne d’une grandeur périodique, de période `T`, dont la valeur instantanée est notée `x(t)` est définie par :

`X_"moy" = 1/T int_0^T x(t) dt`

La valeur moyenne ne dépend pas de la période de la grandeur, son unité est celle de la grandeur.

La valeur moyenne d’une grandeur est aussi appelée composante continue de cette grandeur.

`alpha=0,67` sur l'exemple.

C’est la durée du plus petit motif.

L’intensité du courant est égale à `I_1`

`I_1 = 150" A"` sur l'exemple.

Cela correspond à la pseudo surface
entre la courbe et l'axe des abscisses
pendant la durée `alpha cdot T`

L’intensité du courant est égale à `I_2`

`I_2 = -75" A"` sur l'exemple.

Cela correspond à la pseudo surface
entre la courbe et l'axe des abscisses
pendant la durée `T - alpha cdot T`

Sur l'exemple :

`I = 150 times 0,67 + (-75) times (1 - 0,67)`

`I = 75" A"`