Un solide en rotation autour d'un axe fixe peut être soumis à plusieurs couples qui modifient sa vitesse angulaire, ils peuvent :
- Maintenir la vitesse angulaire constante
- Augmenter la vitesse angulaire, le solide accélère
- Diminuer la vitesse angulaire, le solide décélère
Selon les caractéristiques du solide, l'application de couples identiques n'entraîne pas nécessairement les mêmes comportements : ces caractéristiques sont représentées par une grandeur appelée « moment d'inertie » dont l'unité dans le Système International est le mètre par seconde au carré (`"kg" cdot"s"^2`).
Le principe fondamental de la dynamique relie les couples appliqués, le moment d'inertie et l'accélération angulaire , il est traduit par l'équation suivante :
`sum C_"m" - sum C_"r" = J {d Omega(t)}/dt`
- `sum C_"m"` est la somme des moments des couples moteurs
- `sum C_"r"` est la somme des moments des couples résistants,
- `J` est le moment d'inertie,
- `{d Omega(t)}/dt` est la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps.
Pour illustrer ce principe, on étudie le système ci-dessous qui est constitué de deux poulies solidaires, de rayons respectifs `r_1` et `r_2`, en rotation autour du même axe.
Les moments des couples s’exerçant sur chaque poulie sont modélisés par le couple de forces `vec F_"1a"` et `vec F_"1b"` pour la poulie de grand diamètre et le couple de forces `vec F_"2a"` et `vec F_"2b"` pour l'autre poulie. Leurs moments sont notés respectivement `C_1` et `C_2`.
Le moment d'inertie de l'ensemble est noté `J`.
Si l'axe tourne dans le sens horaire le couple `C_1` est moteur alors que le couple `C_2` est résistant.
L'équation traduisant le principe fondamental de la dynamique s’écrit : `C_1 - C_2 = J cdot {d Omega(t)}/{dt}`
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Les moments des couples de forces s’écrivent :
- Pour la poulie de rayon `r_1` : `C_1 = 2 cdot F_1 cdot r_1` soit
- Pour la poulie de rayon `r_2` : `C_2 = 2 cdot F_2 cdot r_2` soit
Si les deux moments sont égaux alors l'équation devient : `0 = J cdot {d Omega(t)}/{dt}` qui se simplifie en `0 = {d Omega(t)}/{dt}`. Cette dernière équation indique que l'accélération angulaire est nulle ce qui entraîne que la vitesse angulaire est constante, il y a deux possibilités :
- La vitesse est nulle et le reste
- La vitesse est non nulle et reste égale à sa valeur initiale.
Si le moment `C_1` est supérieur au moment `C_2` alors `0 < J cdot {d Omega(t)}/{dt}` soit `{d Omega(t)}/{dt} > 0` : la vitesse angulaire augmente.
Si le moment `C_1` est inférieur au moment `C_2` alors `0 > J cdot {d Omega(t)}/{dt}` soit `{d Omega(t)}/{dt} < 0` : la vitesse angulaire diminue.
Réinitialiser
Au bout d'un certain temps, la vitesse angulaire s’annule, deux situations peuvent se rencontrer :
- La vitesse angulaire reste nulle si le couple `C_2` ne peut pas devenir moteur.
- La vitesse angulaire devient négative si le couple `C_2` peut devenir moteur. C'est ce qui se passe sur l'animation.
Masse et données géométriques.
`r_1 = 90" mm"` et `r_2 = 45" mm"`
Car `J` est toujours positif.
`{d Omega(t)}/{dt} = {C_1-C_2}/J` : la dérivée diminue si la valeur du moment d'inertie `J` augmente,
la vitesse angulaire augmente plus
rapidement si le moment d'inertie est faible.
La poulie tourne dans le sens anti horaire.