I. Cinématique

2. Vitesse et vecteur vitesse

a. Vitesses moyenne et instantanée

On considère le déplacement d'un point d'un solide entre deux positions, l'instant auquel le solide était dans la première position est noté `t_1`, celui pour lequel la deuxième position est atteinte est noté `t_2`. La longueur de portion de trajet parcourue par le point entre les deux instants est notée `Delta s(t) = s_2(t) - s_1(t)`. La vitesse moyenne du point du solide entre les deux instants est notée `V_"moy"` :

`V_"moy" = {Delta s(t)} / {Delta t}` avec `Delta t = t_2-t_1`

Dans l'exemple ci-dessous, un point d'un solide parcourt la distance `d` pendant une durée `Delta t` selon une trajectoire rectiligne. Les cercles noirs correspondent aux positions antérieures du point du solide, la durée qui s’écoule entre chaque enregistrement est égale à 200 ms.

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Dans l'exemple ci-dessus, la vitesse de déplacement dépendait de l'instant, pour déterminer la vitesse instantanée, il faut faire tendre la durée `Delta t` vers zéro, on obtient alors :

`v(t) = {ds(t)}/{dt}` c'est la dérivée de la trajectoire `s(t)` par rapport au temps.

Pour trouver une valeur approchée de la vitesse instantanée dans l'exemple ci-dessus, il est possible de prendre la distance deux positions immédiatement voisines et de diviser par la durée entre deux enregistrements.

Pour trouver une valeur plus précise, il est possible de dériver l'équation donnant la position du point en fonction du temps. La trajectoire étant rectiligne, une seule coordonnée, notée `x(t)`, est utilisée.

  • Pour la partie à gauche :

    `x(t) = 0,79 cdot t` (`x` en cm et `t` en s)

    Soit `v(t) = {dx(t)}/{dt} = 0,79" cm" cdot"s"^-1`

  • Pour la partie à droite :

    `x(t) = 1,85 cdot (t - t_1) + x(t_1)` (`x` en cm et `t` en s)
    `t_1` est l'instant de changement de vitesse

    Soit `v(t) = {dx(t)}/{dt} = 1,85" cm" cdot"s"^-1`

Les graphiques ci-contre représentent l'évolution de la position en fonction du temps et l'évolution de la vitesse en fonction du temps .

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L'unité des vitesses dans le Système International est le mètre par seconde (`"m" cdot "s"^-1` ou `"m" // "s"`), le `"km"//"h"`, le `"m"//"min"`, ... sont aussi utilisés.

Symbolisé par le disque rouge

La vitesse de déplacement n'est pas constante,
car la distance parcourue pendant une durée donnée varie.

C’est la vitesse à un instant donné, elle est notée `v(t)`.