Énoncé :
En régime sinusoïdal :
- La puissance active pour une association de dipôles est égale à la somme des puissances actives de chaque dipôle.
- La puissance réactive pour une association de dipôles est égale à la somme des puissances réactives de chaque dipôle.
Utilisation
C’est un théorème qui permet de déterminer « simplement » l'intensité efficace du courant d'une association de dipôles ainsi que son facteur de puissance.
On considère une association parallèle de deux dipôles non polluants, appelés dipôles A et B, alimentés par un générateur imposant une tension sinusoïdale.
D'après le théorème de Boucherot : `P_"G" = P_"A" + P_"B"` et `Q_"G" = Q_"A" + Q_"B"`
`P_"G" = U cdot I_"G" cdot cos phi_"G"` et `Q_"G" = U cdot I_"G" cdot sin phi_"G"` ce qui donne `P_"G"^2+Q_"G"^2 = (U cdot I_"G" cdot cos phi_"G")^2 + (U cdot I_"G" cdot sin phi_"G")^2`
En factorisant `(U cdot I_"G")^2`, l'expression précédente devient : `P_"G"^2+Q_"G"^2 = (U cdot I_"G")^2 cdot (cos^2 phi_"G" + sin^2 phi_"G")`
Puisque `(cos^2 phi_"G" + sin^2 phi_"G") = 1` alors `S_"G"^2 = P_"G"^2+Q_"G"^2` et finalement `S_"G" = sqrt {P_"G"^2+Q_"G"^2}`
La relation `S_"G" = U cdot I_"G"` permet d'obtenir l'intensité efficace du courant dans le générateur : `I_"G" = S_"G"/ U = sqrt {P_"G"^2+Q_"G"^2}/U` et le facteur de puissance `cos phi_"G" = P_"G"/S_"G"`
Il est interdit d'additionner les puissances apparentes.
Le schéma ci-dessous représente trois dipôles non polluants soumis à la même tension sinusoïdale, le dipôle n°1 est orienté avec la convention générateur alors que les dipôles n°2 et n°3 sont orientés avec la convention récepteur.
Utilisation du théorème de Boucherot pour déterminer les caractéristiques de `i_1(t)`.
Utilisation des vecteurs de Fresnel pour déterminer les caractéristiques de `i_1(t)`.
Les vecteurs de Fresnel associés `vec I_1`, `vec I_2` et `vec I_3` sont associés aux courants d'intensités instantanées `i_1(t)`, `i_2(t)` et `i_3(t)`.
D'après la loi des noeuds, `i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)` soit pour les vecteurs associés `vec I_1 = vec I_2 + vec I_3`
Après avoir placé les vecteurs `vec I_2` et `vec I_3`, on obtient `vec I_1` par addition vectorielle.
La tension et le courant sont sinusoïdaux.
Sa valeur instantanée est notée `u(t)` et la valeur efficace est notée `U`,
le vecteur de Fresnel associé à `u(t)` est noté `vec U` et choisi comme origine des phases.
L'intensité instantanée du courant est notée `i_1(t)` ;
l'intensité efficace est notée `I_1` ;
le déphasage du courant par rapport à la tension est noté `phi_1` ;
le vecteur de Fresnel associé
est noté `vec I_1`.
Les intensités instantanées des courants sont notées `i_2(t)` et `i_3(t)` ;
les intensités efficaces sont notées `I_2` et `I_3` ;
les déphasages des courants par rapport à la tension sont notés `phi_2` et `phi_3` ;
les vecteurs de Fresnel associés
sont notés `vec I_2` et `vec I_3`.
Valeur efficace et déphasage par rapport à `u(t)`